Задание №13. Уравнения

а) Используем формулу синуса суммы:

\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin x+cos x.\)

Тогда:

\(\sqrt3\sin x+cos x-2\sqrt3\cos^2x=\cos x-2\sqrt3.\)

Сократим \(\cos x\) и разделим на \(\sqrt3\):

\(\sin x-2\cos^2x+2=0.\)

Так как \(\cos^2x=1-sin^2x\), получим:

\(\sin x-2(1-sin^2x)+2=0.\)

\(2\sin^2x+sin x=0.\)

\(\sin x(2\sin x+1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac12\).

б) На отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\) получаем:

\(-\frac{13\pi}{6};\ -2\pi;\ -\pi.\)

Ответ:

а) \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac12.\)

б) \(-\frac{13\pi}{6};\ -2\pi;\ -\pi.\)

а) Так как \(\cos(-x)=\cos x\), получаем:

\(\cos2x+cos x=0.\)

\(2\cos^2x-1+cos x=0.\)

\(2\cos^2x+cos x-1=0.\)

\((2\cos x-1)(\cos x+1)=0.\)

Отсюда \(\cos x=\frac12\) или \(\cos x=-1\).

Значит,

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\pi+2\pi n\), где \(k,n\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:

\(-3\pi;\ -\frac{7\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\pi+2\pi n.\)

б) \(-3\pi;\ -\frac{7\pi}{3}.\)

а) Так как \(\cos(x+\pi)=-\cos x\), получаем:

\(\sin2x-\sqrt2\cos x=0.\)

\(2\sin x\cos x-\sqrt2\cos x=0.\)

\(\cos x(2\sin x-\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\),

или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m\), где \(k,m\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m.\)

б) \(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)

а) Область определения: \(\sin x>0\), \(2\cos x-\sqrt3\ne0\).

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\(\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0.\)

Пусть \(t=\log_2(\sin x)\). Тогда:

\(t^2+t=0\), откуда \(t=0\) или \(t=-1\).

Значит, \(\sin x=1\) или \(\sin x=\frac12\).

При \(\sin x=1\):

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

При \(\sin x=\frac12\):

\(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\).

Но при \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) знаменатель равен нулю, поэтому эти корни исключаются.

Итак,

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right]\) получаем:

\(\frac{\pi}{2};\ \frac{5\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{\pi}{2};\ \frac{5\pi}{6}.\)

а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получаем:

\(16^{\sin x}+16^{-\sin x}=\frac{17}{4}.\)

Пусть \(t=16^{\sin x}\). Тогда \(t>0\) и:

\(t+\frac1t=\frac{17}{4}.\)

\(4t^2-17t+4=0.\)

Отсюда \(t=4\) или \(t=\frac14\).

Значит, \(16^{\sin x}=4\) или \(16^{\sin x}=\frac14\).

Так как \(16=2^4\), получаем:

\(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=-\frac12\).

б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:

\(\frac{11\pi}{6};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{17\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(\sin x=\pm\frac12.\)

б) \(\frac{11\pi}{6};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{17\pi}{6}.\)

а) Так как знаменатель не равен нулю, имеем \(\sin x>0\).

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\(4^{\sin2x}=2^{2\sqrt3\sin x}.\)

Так как \(4=2^2\), получаем:

\(2^{2\sin2x}=2^{2\sqrt3\sin x}.\)

Следовательно, \(\sin2x=\sqrt3\sin x\).

\(2\sin x\cos x=\sqrt3\sin x.\)

Так как \(\sin x>0\), то \(\sin x\ne0\), поэтому

\(2\cos x=\sqrt3\), откуда \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\).

С учётом условия \(\sin x>0\):

\(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{13\pi}{2};-5\pi\right]\) получаем:

\(-\frac{35\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{35\pi}{6}.\)

а) Пусть \(u=16^{\sin^2x}\). Тогда

\(4^{\cos2x}=4^{1-2\sin^2x}=\frac4u.\)

Получаем:

\(4u-6\cdot\frac4u=29.\)

\(4u^2-29u-24=0.\)

\(D=35^2\), поэтому \(u=8\). Отрицательный корень не подходит.

Значит, \(16^{\sin^2x}=8\), откуда

\(\sin^2x=\frac34\).

Следовательно, \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}\).

б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:

\(\frac{5\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.\)

б) \(\frac{5\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3}.\)

а) Пусть \(u=16^{\sin^2x}\). Тогда

\(4^{\cos2x}=4^{1-2\sin^2x}=\frac{4}{16^{\sin^2x}}=\frac4u.\)

Получаем:

\(8u-2\cdot\frac4u=63.\)

\(8u^2-63u-8=0.\)

\(D=65^2\), поэтому \(u=8\). Отрицательный корень не подходит.

Значит, \(16^{\sin^2x}=8\).

\(2^{4\sin^2x}=2^3\), откуда \(\sin^2x=\frac34\).

Следовательно, \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}\).

б) На отрезке \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\) получаем:

\(\frac{11\pi}{3};\ \frac{13\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.\)

б) \(\frac{11\pi}{3};\ \frac{13\pi}{3}.\)

а) Область определения: \(\sin x>0\), \(2\cos x+\sqrt3\ne0\).

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\(\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0.\)

Пусть \(t=\log_2(\sin x)\). Тогда:

\(t^2+t=0\), откуда \(t=0\) или \(t=-1\).

Значит, \(\sin x=1\) или \(\sin x=\frac12\).

При \(\sin x=1\):

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

При \(\sin x=\frac12\):

\(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\).

Но при \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\) знаменатель равен нулю, поэтому эти корни исключаются.

Итак,

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\) или \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}.\)

а) Так как знаменатель не равен нулю, имеем \(\sin x>0\).

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\(9^{\sin2x}=3^{2\sqrt2\sin x}.\)

Так как \(9=3^2\), получаем:

\(3^{2\sin2x}=3^{2\sqrt2\sin x}.\)

Следовательно, \(\sin2x=\sqrt2\sin x\).

\(2\sin x\cos x=\sqrt2\sin x.\)

Так как \(\sin x>0\), то \(\sin x\ne0\), поэтому

\(2\cos x=\sqrt2\), откуда \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

С учётом условия \(\sin x>0\):

\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\) получаем:

\(\frac{17\pi}{4}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{17\pi}{4}.\)

а) Перенесём всё в левую часть:

\(2\cos x-2\cos^3x-\sqrt3\sin^2x=0.\)

Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), получим:

\(-2\cos^3x+\sqrt3\cos^2x+2\cos x-\sqrt3=0.\)

Разложим на множители:

\(-(\cos x-1)(\cos x+1)(2\cos x-\sqrt3)=0.\)

Отсюда \(\cos x=1\), или \(\cos x=-1\), или \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\).

б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:

\(-3\pi;\ -\frac{13\pi}{6};\ -2\pi.\)

Ответ: а) \(\cos x=1\), \(\cos x=-1\), \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\). б) \(-3\pi;\ -\frac{13\pi}{6};\ -2\pi.\)

а) Используем формулу синуса суммы:

\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x.\)

Тогда:

\(\sin x+\sqrt3\cos x+cos2x=\sqrt3\cos x+1.\)

\(\sin x+cos2x=1.\)

Так как \(\cos2x=1-2\sin^2x\), получим:

\(\sin x(1-2\sin x)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac12\).

б) На отрезке \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-3\pi;\ -2\pi;\ -\frac{11\pi}{6}.\)

Ответ: а) \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac12\). б) \(-3\pi;\ -2\pi;\ -\frac{11\pi}{6}.\)

а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), получим:

\(\cos2x+3\sin x-2=0.\)

Используем \(\cos2x=1-2\sin^2x\):

\(1-2\sin^2x+3\sin x-2=0.\)

\(2\sin^2x-3\sin x+1=0.\)

\((2\sin x-1)(\sin x-1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=1\).

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{25\pi}{6};\ \frac{9\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=1\). б) \(\frac{25\pi}{6};\ \frac{9\pi}{2}.\)

а) По определению логарифма:

\(3^{2x}+5\sqrt2\sin x-6\cos^2x-2=9^x=3^{2x}.\)

Сократим \(3^{2x}\):

\(5\sqrt2\sin x-6\cos^2x-2=0.\)

Используем \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

\(6\sin^2x+5\sqrt2\sin x-8=0.\)

Отсюда \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\), второй корень не подходит, так как не принадлежит \([-1;1]\).

Значит, \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k;\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\). б) \(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4}.\)

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(2\sin^3x-2\sin x-\sqrt2\cos^2x=0.\)

Так как \(\cos^2x=1-\sin^2x\), получим:

\(2\sin^3x+\sqrt2\sin^2x-2\sin x-\sqrt2=0.\)

Разложим на множители:

\((\sin x-1)(\sin x+1)(2\sin x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\sin x=1\), или \(\sin x=-1\), или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

б) На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{11\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(\sin x=1\), \(\sin x=-1\), \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\). б) \(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{11\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

а) Так как \(\cos(-x)=\cos x\), получим:

\(2\cos x-2\sqrt3\cos x-4\sin^2x-\sqrt3+4=0.\)

Используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\):

\(4\cos^2x+(2-2\sqrt3)\cos x-\sqrt3=0.\)

Разложим на множители:

\((2\cos x+1)(2\cos x-\sqrt3)=0.\)

Отсюда \(\cos x=-\frac12\) или \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\).

Значит, \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\), или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n\), или \(x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{13\pi}{6};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{10\pi}{3}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\ x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\ x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k\). б) \(\frac{13\pi}{6};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{10\pi}{3}.\)

а) Так как \(\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x\), получим:

\(\sin x+\cos x+2\sin^2x=\sin x+2.\)

\(\cos x+2\sin^2x-2=0.\)

Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), получим:

\(\cos x-2\cos^2x=0.\)

\(\cos x(1-2\cos x)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).

Значит, \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), или \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{3};\ \frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\). б) \(\frac{7\pi}{3};\ \frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\), получим:

\(2\cos^2x+\sin2x=0.\)

\(2\cos^2x+2\sin x\cos x=0.\)

\(2\cos x(\cos x+\sin x)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=-\cos x\), то есть \(\operatorname{tg}x=-1\).

Значит, \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), или \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\). б) \(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)

а) Пусть \(t=4^{\sin x}\). Тогда \(16^{\sin x}=t^2\).

Получим \(t^2-6t+8=0\), откуда \(t=2\) или \(t=4\).

Значит, \(4^{\sin x}=2\) или \(4^{\sin x}=4\).

Отсюда \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=1\).

Тогда \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\), или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), или \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\), где \(k,n\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{23\pi}{6};\ -\frac{7\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\). б) \(-\frac{23\pi}{6};\ -\frac{7\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x\), получим:

\(\cos2x+\sqrt3\cos x+1=0.\)

Используем \(\cos2x+1=2\cos^2x\):

\(2\cos^2x+\sqrt3\cos x=0.\)

\(\cos x(2\cos x+\sqrt3)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Значит, \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{17\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{2};\ -\frac{3\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\). б) \(-\frac{17\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{2};\ -\frac{3\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), а \(\cos(-x)=\cos x\), получим:

\(\sin2x-2\sin x+cos x-1=0.\)

Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):

\(2\sin x\cos x-2\sin x+cos x-1=0.\)

Сгруппируем:

\(2\sin x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0.\)

\((\cos x-1)(2\sin x+1)=0.\)

Отсюда \(\cos x=1\) или \(\sin x=-\frac12\).

Значит,

\(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(2\pi;\ \frac{19\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(2\pi;\ \frac{19\pi}{6}.\)

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(2\cos^3x-2\cos x+\sqrt2\sin^2x=0.\)

Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), получим:

\(2\cos x(\cos^2x-1)-\sqrt2(\cos^2x-1)=0.\)

\((\cos^2x-1)(2\cos x-\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\cos x=1\), или \(\cos x=-1\), или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\) получаем:

\(3\pi;\ \frac{15\pi}{4};\ 4\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(3\pi;\ \frac{15\pi}{4};\ 4\pi.\)

а) Так как \(\cos(\pi-2x)=-\cos2x\), получим:

\(2-2\cos2x+2\sqrt2\sin x=\sqrt6+2\sqrt3\sin x.\)

Так как \(2-2\cos2x=4\sin^2x\), имеем:

\(4\sin^2x+2(\sqrt2-\sqrt3)\sin x-\sqrt6=0.\)

Разложим на множители:

\((2\sin x-\sqrt3)(2\sin x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{13\pi}{4};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{13\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi m;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\quad k,m,n,l\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{13\pi}{4};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{13\pi}{3}.\)

а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получим:

\(\cos2x+\sqrt2\sin x-1=0.\)

Так как \(\cos2x-1=-2\sin^2x\), имеем:

\(-2\sin^2x+\sqrt2\sin x=0.\)

\(\sin x(\sqrt2-2\sin x)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:

\(-\frac{13\pi}{4};\ -3\pi;\ -2\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{13\pi}{4};\ -3\pi;\ -2\pi.\)

а) Сгруппируем:

\(2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0.\)

\(\cos^2x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)=0.\)

\((2\cos x-1)(\cos^2x+1)=0.\)

Так как \(\cos^2x+1>0\), получаем:

\(2\cos x-1=0.\)

\(\cos x=\frac12.\)

Значит,

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{3}.\)

а) Используем формулу синуса суммы:

\(2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin2x+\cos2x.\)

Тогда:

\(\sin x+\sqrt3\sin2x+\cos2x=\sqrt3\sin2x+1.\)

Сократим \(\sqrt3\sin2x\):

\(\sin x+cos2x=1.\)

Так как \(\cos2x=1-2\sin^2x\), получим:

\(\sin x+1-2\sin^2x=1.\)

\(\sin x(1-2\sin x)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac12\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:

\(-\frac{19\pi}{6};\ -3\pi;\ -2\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{19\pi}{6};\ -3\pi;\ -2\pi.\)

а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), а \(\sin(\pi-x)=\sin x\), получим:

\(\left(\frac{1}{49}\right)^{-\sin x}=7^{2\sqrt3\sin x}.\)

Левая часть:

\(\left(7^{-2}\right)^{-\sin x}=7^{2\sin x}.\)

Следовательно,

\(7^{2\sin x}=7^{2\sqrt3\sin x}.\)

Так как основания равны и больше нуля, получаем:

\(2\sin x=2\sqrt3\sin x.\)

\((2-2\sqrt3)\sin x=0.\)

Значит, \(\sin x=0\), откуда

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(3\pi;\ 4\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(3\pi;\ 4\pi.\)

а) Так как \(\sin(2\pi-x)=-\sin x\), получим:

\(2\sin^2x-\sqrt2\sin x+\sqrt3\sin2x-\sqrt6\cos x=0.\)

Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):

\(2\sin^2x-\sqrt2\sin x+2\sqrt3\sin x\cos x-\sqrt6\cos x=0.\)

Сгруппируем:

\(2\sin x(\sin x+\sqrt3\cos x)-\sqrt2(\sin x+\sqrt3\cos x)=0.\)

\((2\sin x-\sqrt2)(\sin x+\sqrt3\cos x)=0.\)

Отсюда \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\) или \(\operatorname{tg}x=-\sqrt3\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На промежутке \(\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{4}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m;\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad k,m,n\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{4}.\)

а) Используем формулу синуса суммы:

\(2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin2x+\cos2x.\)

Тогда исходное уравнение принимает вид:

\(\sqrt3\sin2x+\cos2x-\cos x=\sqrt3\sin2x-1.\)

Сократим \(\sqrt3\sin2x\):

\(\cos2x-\cos x=-1.\)

\(\cos2x-\cos x+1=0.\)

Так как \(\cos2x=2\cos^2x-1\), получим:

\(2\cos^2x-\cos x=0.\)

\(\cos x(2\cos x-1)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\) получаем:

\(\frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3}.\)

а) Сгруппируем слагаемые:

\(\sin x\cos2x+\sin x+\sqrt2\cos^2x=0.\)

\(\sin x(\cos2x+1)+\sqrt2\cos^2x=0.\)

Так как \(\cos2x+1=2\cos^2x\), получим:

\(2\sin x\cos^2x+\sqrt2\cos^2x=0.\)

\(\cos^2x(2\sin x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:

\(\frac{3\pi}{2};\ \frac{7\pi}{4};\ \frac{5\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{3\pi}{2};\ \frac{7\pi}{4};\ \frac{5\pi}{2}.\)

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(2\sin x\cos^2x+\sqrt3-\sqrt3\sin^2x=0.\)

Так как \(\cos^2x=1-\sin^2x\), получим:

\(2\sin x(1-\sin^2x)+\sqrt3(1-\sin^2x)=0.\)

\((1-\sin^2x)(2\sin x+\sqrt3)=0.\)

Отсюда \(\sin x=1\), или \(\sin x=-1\), или \(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3};\ \frac{9\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\quad n,k,m,l\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3};\ \frac{9\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos x\), получим:

\(2\sqrt3\cos^2x+\sin2x=0.\)

\(2\sqrt3\cos^2x+2\sin x\cos x=0.\)

\(2\cos x(\sqrt3\cos x+\sin x)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=-\sqrt3\cos x\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(\operatorname{tg}x=-\sqrt3\), то есть \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{10\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{10\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), а \(\cos(-x)=\cos x\), получим:

\(\sin2x+\sin x+2\cos x+1=0.\)

\(2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=0.\)

Сгруппируем:

\(\sin x(2\cos x+1)+(2\cos x+1)=0.\)

\((\sin x+1)(2\cos x+1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=-1\) или \(\cos x=-\frac12\).

Значит,

\(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:

\(\frac{3\pi}{2};\ \frac{8\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi m,\quad n,k,m\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{3\pi}{2};\ \frac{8\pi}{3}.\)

а) Сгруппируем:

\(2\cos x(\cos^2x+1)+\sqrt3(\cos^2x+1)=0.\)

\((\cos^2x+1)(2\cos x+\sqrt3)=0.\)

Так как \(\cos^2x+1>0\), получаем:

\(2\cos x+\sqrt3=0.\)

\(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.\)

Значит,

\(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{7\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{7\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{6}.\)

а) Так как \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x\), получим:

\(\cos2x-\sqrt2\sin x-1=0.\)

Так как \(\cos2x-1=-2\sin^2x\), получим:

\(-2\sin^2x-\sqrt2\sin x=0.\)

\(\sin x(2\sin x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{4};\ 2\pi;\ 3\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\quad k,m\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{4};\ 2\pi;\ 3\pi.\)

а) Так как \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x\), а \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), получим:

\(2\cos^2x-cos x=0.\)

\(\cos x(2\cos x-1)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(\cos x\cos2x-\cos x-\sqrt2\sin^2x=0.\)

\(\cos x(\cos2x-1)-\sqrt2\sin^2x=0.\)

Так как \(\cos2x-1=-2\sin^2x\), получим:

\(-2\cos x\sin^2x-\sqrt2\sin^2x=0.\)

\(\sin^2x(2\cos x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\) получаем:

\(-2\pi;\ -\frac{5\pi}{4};\ -\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi m,\quad k,m\in\mathbb Z.\)

б) \(-2\pi;\ -\frac{5\pi}{4};\ -\pi.\)

а) Так как \(\cos(x+\pi)=-\cos x\), получим:

\(\cos2x-\sqrt2\cos x+1=0.\)

Используем \(\cos2x+1=2\cos^2x\):

\(2\cos^2x-\sqrt2\cos x=0.\)

\(\cos x(2\cos x-\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{15\pi}{4};\ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{15\pi}{4};\ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

а) Так как \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), получим:

\(16^{\cos x}+16^{-\cos x}=\frac{17}{4}.\)

Пусть \(t=16^{\cos x}\), тогда \(t>0\) и:

\(t+\frac1t=\frac{17}{4}.\)

\(4t^2-17t+4=0.\)

Отсюда \(t=4\) или \(t=\frac14\).

Значит, \(16^{\cos x}=4\) или \(16^{\cos x}=\frac14\), поэтому

\(\cos x=\frac12\) или \(\cos x=-\frac12\).

Тогда:

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{4\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{4\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3}.\)

а) Пусть \(t=\operatorname{tg}x\). Тогда:

\(\sqrt3t^2-4t+\sqrt3=0.\)

\(D=16-12=4\), поэтому

\(t=\sqrt3\) или \(t=\frac{\sqrt3}{3}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{6};\ \frac{4\pi}{3};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{7\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{6};\ \frac{4\pi}{3};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{7\pi}{3}.\)

а) Так как \(1-\cos2x=2\sin^2x\), а \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получим:

\(2\sin^2x+\sqrt2\sin x=\sqrt2+2\sin x.\)

\(2\sin^2x+(\sqrt2-2)\sin x-\sqrt2=0.\)

Разложим на множители:

\((\sin x-1)(2\sin x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\sin x=1\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{11\pi}{4};\ -\frac{9\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{11\pi}{4};\ -\frac{9\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2}.\)

а) Приведём обе части к основанию \(7\):

\(49^{\sin x}=7^{2\sin x}\),

\(\left(\frac17\right)^{-\sqrt2\sin2x}=7^{\sqrt2\sin2x}.\)

Получаем:

\(7^{2\sin x}=7^{\sqrt2\sin2x}.\)

Значит,

\(2\sin x=\sqrt2\sin2x.\)

Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):

\(2\sin x=2\sqrt2\sin x\cos x.\)

\(2\sin x(1-\sqrt2\cos x)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(2\pi;\ \frac{9\pi}{4};\ 3\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(2\pi;\ \frac{9\pi}{4};\ 3\pi.\)

а) Используем формулу синуса суммы:

\(\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x+cos x.\)

Тогда:

\(2\sin^2x+sin x+cos x=cos x.\)

\(2\sin^2x+sin x=0.\)

\(\sin x(2\sin x+1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac12\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-2\pi;\ -\pi;\ -\frac{5\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-2\pi;\ -\pi;\ -\frac{5\pi}{6}.\)

а) Так как \(\cos(\pi-2x)=-\cos2x\), получим:

\(2+2\cos2x+2\sqrt2\cos x=\sqrt6+2\sqrt3\cos x.\)

Используем \(\cos2x=2\cos^2x-1\):

\(4\cos^2x+2(\sqrt2-\sqrt3)\cos x-\sqrt6=0.\)

Разложим на множители:

\((2\cos x-\sqrt3)(2\cos x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\) или \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{13\pi}{4};\ \frac{23\pi}{6};\ \frac{25\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi m;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi l,\quad k,m,n,l\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{13\pi}{4};\ \frac{23\pi}{6};\ \frac{25\pi}{6}.\)

а) Пусть \(t=9^{\cos x}\). Тогда \(81^{\cos x}=t^2\).

Получаем:

\(9t^2-28t+3=0.\)

\(D=28^2-4\cdot9\cdot3=676.\)

\(t=3\) или \(t=\frac19\).

Значит,

\(9^{\cos x}=3\) или \(9^{\cos x}=\frac19.\)

Так как \(9=3^2\), получим:

\(3^{2\cos x}=3^1\) или \(3^{2\cos x}=3^{-2}.\)

Отсюда \(\cos x=\frac12\) или \(\cos x=-1\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\) получаем:

\(3\pi;\ \frac{11\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m;\quad x=\pi+2\pi n,\quad k,m,n\in\mathbb Z.\)

б) \(3\pi;\ \frac{11\pi}{3}.\)

а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), а \(\cos^2x=1-sin^2x\), получим:

\(2\sin x-2\sqrt3\sin x-4(1-sin^2x)=\sqrt3-4.\)

\(4\sin^2x+(2-2\sqrt3)\sin x-\sqrt3=0.\)

Разложим на множители:

\((2\sin x+1)(2\sin x-\sqrt3)=0.\)

Отсюда \(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\).

Значит,

\(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{19\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m;\quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi n;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\quad k,m,n,l\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{19\pi}{6}.\)

а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), получим:

\(2\cos^2x-3\sin x-3=0.\)

Используем \(\cos^2x=1-sin^2x\):

\(2(1-sin^2x)-3\sin x-3=0.\)

\(2\sin^2x+3\sin x+1=0.\)

\((2\sin x+1)(\sin x+1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=-1\).

Значит,

\(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}.\)

а) Так как \(\cos(-x)=\cos x\), получим:

\(2\sin^2x+cos x-1=0.\)

Используем \(\sin^2x=1-cos^2x\):

\(2(1-cos^2x)+cos x-1=0.\)

\(2\cos^2x-cos x-1=0.\)

\((2\cos x+1)(\cos x-1)=0.\)

Отсюда \(\cos x=1\) или \(\cos x=-\frac12\).

Значит,

\(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{9\pi}{2};-3\pi\right]\) получаем:

\(-4\pi;\ -\frac{10\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-4\pi;\ -\frac{10\pi}{3}.\)

а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получим:

\(2\cos^2x-3\sin x-3=0.\)

Используем \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

\(2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0.\)

\(2\sin^2x+3\sin x+1=0.\)

\((2\sin x+1)(\sin x+1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=-1\).

Значит,

\(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}.\)

а) Используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\). Получим:

\(2(1-\cos^2x)\cos x+\sqrt2\cos^2x=\sqrt2.\)

Пусть \(t=\cos x\). Тогда:

\(2t-2t^3+\sqrt2t^2-\sqrt2=0.\)

Разложим на множители:

\(-(t-1)(t+1)(2t-\sqrt2)=0.\)

Значит, \(\cos x=1\), или \(\cos x=-1\), или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Отсюда:

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:

\(-3\pi;\ -\frac{9\pi}{4};\ -2\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-3\pi;\ -\frac{9\pi}{4};\ -2\pi.\)

а) Пусть \(t=9^{\sin x}\). Тогда \(81^{\sin x}=9^{2\sin x}=t^2\).

Получим квадратное уравнение:

\(27t^2-12t+1=0.\)

Найдём корни:

\(D=(-12)^2-4\cdot27\cdot1=144-108=36.\)

\(t=\frac{12\pm6}{54}.\)

Отсюда:

\(t=\frac13\) или \(t=\frac19\).

Вернёмся к замене:

\(9^{\sin x}=\frac13\) или \(9^{\sin x}=\frac19\).

Так как \(9=3^2\), получим:

\(3^{2\sin x}=3^{-1}\) или \(3^{2\sin x}=3^{-2}\).

Значит,

\(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=-1\).

Отсюда:

\(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).

Получим:

\(\frac{3\pi}{2};\ \frac{11\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{3\pi}{2};\ \frac{11\pi}{6}.\)

а) Так как \(\cos2x=1-2\sin^2x\), а \(\sin(x-\pi)=-\sin x\), получим:

\(1-(1-2\sin^2x)+\sqrt3\sin x=\sqrt3+2\sin x.\)

\(2\sin^2x+\sqrt3\sin x=\sqrt3+2\sin x.\)

\(2\sin^2x+(\sqrt3-2)\sin x-\sqrt3=0.\)

Разложим на множители:

\((\sin x-1)(2\sin x+\sqrt3)=0.\)

Отсюда:

\(\sin x=1\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\).

Получим:

\(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)

а) Используем формулы:

\(\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\),

\(\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)}{2}=\frac{1-\sin2x}{2}.\)

Тогда:

\(\frac{1+\cos2x}{2}+\frac{1-\sin2x}{2}=\frac12.\)

\(1+\frac{\cos2x-\sin2x}{2}=\frac12.\)

\(\cos2x-\sin2x=-1.\)

Так как \(\cos2x-\sin2x=\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\), получим:

\(\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1.\)

\(\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.\)

Отсюда:

\(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\) или \(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \([5\pi;6\pi]\).

Получим:

\(\frac{21\pi}{4};\ \frac{11\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{21\pi}{4};\ \frac{11\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получим:

\(\sin2x-\sqrt2\sin x=0.\)

Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):

\(2\sin x\cos x-\sqrt2\sin x=0.\)

\(\sin x(2\cos x-\sqrt2)=0.\)

Отсюда:

\(\sin x=0\) или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\).

Получим:

\(-4\pi;\ -\frac{15\pi}{4};\ -3\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-4\pi;\ -\frac{15\pi}{4};\ -3\pi.\)

а) Используем формулу синуса суммы:

\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=\sin x+\sqrt3\cos x.\)

Тогда исходное уравнение принимает вид:

\(\sin x+\sqrt3\cos x-\sqrt3\cos2x=\sin x+\sqrt3.\)

Сократим \(\sin x\) и разделим на \(\sqrt3\):

\(\cos x-\cos2x=1.\)

Так как \(\cos2x=2\cos^2x-1\), получим:

\(\cos x-(2\cos^2x-1)=1.\)

\(\cos x-2\cos^2x=0.\)

\(\cos x(1-2\cos x)=0.\)

Отсюда:

\(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).

Получим:

\(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)

а) Запишем уравнение в виде:

\(\sqrt{2}\sin x(\sin^2x-1)+\cos^2x=0.\)

Так как \(\sin^2x-1=-\cos^2x\), получим:

\(\cos^2x(1-\sqrt{2}\sin x)=0.\)

Значит, или \(\cos x=0\), откуда

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда

\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\).

Получим числа:

\(-\frac{5\pi}{2};\ -\frac{7\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{4}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{5\pi}{2};\ -\frac{7\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{4}.\)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

\((3\log_8 x-1)(2\log_8 x-1)=0.\)

Значит, \(3\log_8 x=1\), откуда \(x=2\), или \(2\log_8 x=1\), откуда \(x=2\sqrt{2}\).

б) Заметим, что

\(1<2<2{,}5=\sqrt{6{,}25}<\sqrt{8}=2\sqrt{2}.\)

Значит, указанному отрезку принадлежит корень \(2\).

Ответ:

а) \(2;\ 2\sqrt{2}.\)

б) \(2.\)

а) Запишем уравнение в виде:

\(\cos^2x-\sin^2x+0{,}5=\cos^2x.\)

Тогда

\(\sin^2x=\frac12.\)

Значит, \(\sin x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда

\(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).

Получим числа:

\(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{4}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{4}.\)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

\(1-(1-2\sin^2x)+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}-2(-\sin x).\)

Получим:

\(2\sin^2x-(2-\sqrt{3})\sin x-\sqrt{3}=0.\)

Разложим левую часть на множители:

\((\sin x-1)(2\sin x+\sqrt{3})=0.\)

Значит, \(\sin x=1\), откуда

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

Или \(\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда

\(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\).

Получим числа:

\(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

\(2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0.\)

Сгруппируем:

\((2\sin x+\sqrt{2})(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0.\)

Значит, \(\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда

\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

Также \(\sin x-\sqrt{3}\cos x=0\), откуда \(\tan x=\sqrt{3}\), значит

\(x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).

Получим числа:

\(\frac{7\pi}{4};\ \frac{7\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{4};\ \frac{7\pi}{3}.\)