Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\cos^3x+\sqrt2\sin^2x=2\cos x.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\).
Решение
а) Перенесём все слагаемые в левую часть:
\(2\cos^3x-2\cos x+\sqrt2\sin^2x=0.\)
Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), получим:
\(2\cos x(\cos^2x-1)-\sqrt2(\cos^2x-1)=0.\)
\((\cos^2x-1)(2\cos x-\sqrt2)=0.\)
Отсюда \(\cos x=1\), или \(\cos x=-1\), или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).
Значит,
\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\) получаем:
\(3\pi;\ \frac{15\pi}{4};\ 4\pi.\)
Ответ:
а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(3\pi;\ \frac{15\pi}{4};\ 4\pi.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |