Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\sin2x-\sin(-x)+2\cos(-x)+1=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).
Решение
а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), а \(\cos(-x)=\cos x\), получим:
\(\sin2x+\sin x+2\cos x+1=0.\)
\(2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=0.\)
Сгруппируем:
\(\sin x(2\cos x+1)+(2\cos x+1)=0.\)
\((\sin x+1)(2\cos x+1)=0.\)
Отсюда \(\sin x=-1\) или \(\cos x=-\frac12\).
Значит,
\(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:
\(\frac{3\pi}{2};\ \frac{8\pi}{3}.\)
Ответ:
а) \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi m,\quad n,k,m\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{3\pi}{2};\ \frac{8\pi}{3}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |