Задание №13. Уравнения

а) Так как \(\cos(\pi-2x)=-\cos2x\), получим:

\(2+2\cos2x+2\sqrt2\cos x=\sqrt6+2\sqrt3\cos x.\)

Используем \(\cos2x=2\cos^2x-1\):

\(4\cos^2x+2(\sqrt2-\sqrt3)\cos x-\sqrt6=0.\)

Разложим на множители:

\((2\cos x-\sqrt3)(2\cos x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\) или \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{13\pi}{4};\ \frac{23\pi}{6};\ \frac{25\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi m;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi l,\quad k,m,n,l\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{13\pi}{4};\ \frac{23\pi}{6};\ \frac{25\pi}{6}.\)