Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2\sin^2x=\sin x+2.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x\), получим:
\(\sin x+\cos x+2\sin^2x=\sin x+2.\)
\(\cos x+2\sin^2x-2=0.\)
Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), получим:
\(\cos x-2\cos^2x=0.\)
\(\cos x(1-2\cos x)=0.\)
Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).
Значит, \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), или \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).
б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:
\(\frac{7\pi}{3};\ \frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2}.\)
Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\). б) \(\frac{7\pi}{3};\ \frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |