Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin^2x\cdot\cos x+\sqrt2\cos^2x=\sqrt2.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\).
Решение
а) Используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\). Получим:
\(2(1-\cos^2x)\cos x+\sqrt2\cos^2x=\sqrt2.\)
Пусть \(t=\cos x\). Тогда:
\(2t-2t^3+\sqrt2t^2-\sqrt2=0.\)
Разложим на множители:
\(-(t-1)(t+1)(2t-\sqrt2)=0.\)
Значит, \(\cos x=1\), или \(\cos x=-1\), или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).
Отсюда:
\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или
\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:
\(-3\pi;\ -\frac{9\pi}{4};\ -2\pi.\)
Ответ:
а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(-3\pi;\ -\frac{9\pi}{4};\ -2\pi.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |