Тригонометрические уравнения: разложение на множители · Открытый банк заданий ФИПИ · № E6F116
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Сгруппируем:
\(2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0.\)
\(\cos^2x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)=0.\)
\((2\cos x-1)(\cos^2x+1)=0.\)
Так как \(\cos^2x+1>0\), получаем:
\(2\cos x-1=0.\)
\(\cos x=\frac12.\)
Значит,
\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:
\(\frac{7\pi}{3}.\)
Ответ:
а) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{7\pi}{3}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) x=±π/3+2πk. б) 7π/3.