Тригонометрические уравнения: сведение к квадратному · ЕГЭ 2025, основная волна · июнь · июнь
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
а) Решите уравнение
\(\cos2x+0{,}5=\cos^2x.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Запишем уравнение в виде:
\(\cos^2x-\sin^2x+0{,}5=\cos^2x.\)
Тогда
\(\sin^2x=\frac12.\)
Значит, \(\sin x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда
\(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).
Получим числа:
\(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{4}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) \(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{4}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) x=π/4+πn; x=3π/4+πk. б) -7π/4; -5π/4; -3π/4.