Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}\cos2x=\sin x+\sqrt{3}.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Используем формулу синуса суммы:
\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=\sin x+\sqrt3\cos x.\)
Тогда исходное уравнение принимает вид:
\(\sin x+\sqrt3\cos x-\sqrt3\cos2x=\sin x+\sqrt3.\)
Сократим \(\sin x\) и разделим на \(\sqrt3\):
\(\cos x-\cos2x=1.\)
Так как \(\cos2x=2\cos^2x-1\), получим:
\(\cos x-(2\cos^2x-1)=1.\)
\(\cos x-2\cos^2x=0.\)
\(\cos x(1-2\cos x)=0.\)
Отсюда:
\(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или
\(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).
Получим:
\(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |