Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\cos2x+\sqrt2\cos(x+\pi)+1=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\cos(x+\pi)=-\cos x\), получим:
\(\cos2x-\sqrt2\cos x+1=0.\)
Используем \(\cos2x+1=2\cos^2x\):
\(2\cos^2x-\sqrt2\cos x=0.\)
\(\cos x(2\cos x-\sqrt2)=0.\)
Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:
\(-\frac{15\pi}{4};\ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) \(-\frac{15\pi}{4};\ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |