Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin^2x+\sqrt2\sin(2\pi-x)+\sqrt3\sin2x=\sqrt6\cos x.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\sin(2\pi-x)=-\sin x\), получим:
\(2\sin^2x-\sqrt2\sin x+\sqrt3\sin2x-\sqrt6\cos x=0.\)
Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):
\(2\sin^2x-\sqrt2\sin x+2\sqrt3\sin x\cos x-\sqrt6\cos x=0.\)
Сгруппируем:
\(2\sin x(\sin x+\sqrt3\cos x)-\sqrt2(\sin x+\sqrt3\cos x)=0.\)
\((2\sin x-\sqrt2)(\sin x+\sqrt3\cos x)=0.\)
Отсюда \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\) или \(\operatorname{tg}x=-\sqrt3\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) На промежутке \(\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:
\(-\frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{4}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m;\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad k,m,n\in\mathbb Z.\)
б) \(-\frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{4}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |