Тригонометрические уравнения: разложение на множители · Открытый банк заданий ФИПИ · № 3BB500
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin2x=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\), получим:
\(2\cos^2x+\sin2x=0.\)
\(2\cos^2x+2\sin x\cos x=0.\)
\(2\cos x(\cos x+\sin x)=0.\)
Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=-\cos x\), то есть \(\operatorname{tg}x=-1\).
Значит, \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), или \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).
б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:
\(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)
Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\). б) \(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) x=π/2+πn; x=-π/4+πk. б) 7π/2; 15π/4; 9π/2.