Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\cos2x+\sqrt3\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x\), получим:
\(\cos2x+\sqrt3\cos x+1=0.\)
Используем \(\cos2x+1=2\cos^2x\):
\(2\cos^2x+\sqrt3\cos x=0.\)
\(\cos x(2\cos x+\sqrt3)=0.\)
Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\).
Значит, \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).
б) На отрезке \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\) получаем:
\(-\frac{17\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{2};\ -\frac{3\pi}{2}.\)
Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\). б) \(-\frac{17\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{2};\ -\frac{3\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |