Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos x=\sqrt3\sin2x-1.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\).
Решение
а) Используем формулу синуса суммы:
\(2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin2x+\cos2x.\)
Тогда исходное уравнение принимает вид:
\(\sqrt3\sin2x+\cos2x-\cos x=\sqrt3\sin2x-1.\)
Сократим \(\sqrt3\sin2x\):
\(\cos2x-\cos x=-1.\)
\(\cos2x-\cos x+1=0.\)
Так как \(\cos2x=2\cos^2x-1\), получим:
\(2\cos^2x-\cos x=0.\)
\(\cos x(2\cos x-1)=0.\)
Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\) получаем:
\(\frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |