Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sqrt3\sin^2\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)+\sin2x=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos x\), получим:
\(2\sqrt3\cos^2x+\sin2x=0.\)
\(2\sqrt3\cos^2x+2\sin x\cos x=0.\)
\(2\cos x(\sqrt3\cos x+\sin x)=0.\)
Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=-\sqrt3\cos x\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(\operatorname{tg}x=-\sqrt3\), то есть \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:
\(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{10\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) \(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{10\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |