Задание №13. Уравнения
а) Решите уравнение
\(\sqrt{2}\sin^3x-\sqrt{2}\sin x+\cos^2x=0.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\).
Решение
а) Запишем уравнение в виде:
\(\sqrt{2}\sin x(\sin^2x-1)+\cos^2x=0.\)
Так как \(\sin^2x-1=-\cos^2x\), получим:
\(\cos^2x(1-\sqrt{2}\sin x)=0.\)
Значит, или \(\cos x=0\), откуда
\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или \(\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда
\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\).
Получим числа:
\(-\frac{5\pi}{2};\ -\frac{7\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{4}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) \(-\frac{5\pi}{2};\ -\frac{7\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{4}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |