Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\sin2x+2\sin(-x)+\cos(-x)-1=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), а \(\cos(-x)=\cos x\), получим:
\(\sin2x-2\sin x+cos x-1=0.\)
Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):
\(2\sin x\cos x-2\sin x+cos x-1=0.\)
Сгруппируем:
\(2\sin x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0.\)
\((\cos x-1)(2\sin x+1)=0.\)
Отсюда \(\cos x=1\) или \(\sin x=-\frac12\).
Значит,
\(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:
\(2\pi;\ \frac{19\pi}{6}.\)
Ответ:
а) \(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(2\pi;\ \frac{19\pi}{6}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |