Показательные уравнения · Открытый банк заданий ФИПИ · № 1CAE46
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(16^{\sin x}+16^{\sin(x+\pi)}=\frac{17}{4}.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получаем:
\(16^{\sin x}+16^{-\sin x}=\frac{17}{4}.\)
Пусть \(t=16^{\sin x}\). Тогда \(t>0\) и:
\(t+\frac1t=\frac{17}{4}.\)
\(4t^2-17t+4=0.\)
Отсюда \(t=4\) или \(t=\frac14\).
Значит, \(16^{\sin x}=4\) или \(16^{\sin x}=\frac14\).
Так как \(16=2^4\), получаем:
\(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=-\frac12\).
б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:
\(\frac{11\pi}{6};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{17\pi}{6}.\)
Ответ:
а) \(\sin x=\pm\frac12.\)
б) \(\frac{11\pi}{6};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{17\pi}{6}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) sin x=±1/2. б) 11π/6; 13π/6; 17π/6.