Тригонометрические уравнения: разложение на множители · Открытый банк заданий ФИПИ · № DCD2BC
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\cos x-\sqrt3\sin^2x=2\cos^3x.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Перенесём всё в левую часть:
\(2\cos x-2\cos^3x-\sqrt3\sin^2x=0.\)
Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), получим:
\(-2\cos^3x+\sqrt3\cos^2x+2\cos x-\sqrt3=0.\)
Разложим на множители:
\(-(\cos x-1)(\cos x+1)(2\cos x-\sqrt3)=0.\)
Отсюда \(\cos x=1\), или \(\cos x=-1\), или \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\).
б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:
\(-3\pi;\ -\frac{13\pi}{6};\ -2\pi.\)
Ответ: а) \(\cos x=1\), \(\cos x=-1\), \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\). б) \(-3\pi;\ -\frac{13\pi}{6};\ -2\pi.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) cos x=1; cos x=-1; cos x=√3/2. б) -3π; -13π/6; -2π.