Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\cos x\cdot\cos2x=\sqrt2\sin^2x+\cos x.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\).
Решение
а) Перенесём все слагаемые в левую часть:
\(\cos x\cos2x-\cos x-\sqrt2\sin^2x=0.\)
\(\cos x(\cos2x-1)-\sqrt2\sin^2x=0.\)
Так как \(\cos2x-1=-2\sin^2x\), получим:
\(-2\cos x\sin^2x-\sqrt2\sin^2x=0.\)
\(\sin^2x(2\cos x+\sqrt2)=0.\)
Отсюда \(\sin x=0\) или \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\).
Значит,
\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\) получаем:
\(-2\pi;\ -\frac{5\pi}{4};\ -\pi.\)
Ответ:
а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi m,\quad k,m\in\mathbb Z.\)
б) \(-2\pi;\ -\frac{5\pi}{4};\ -\pi.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |