Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(1-\cos2x+\sqrt2\sin x=\sqrt2-2\sin(x+\pi).\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(1-\cos2x=2\sin^2x\), а \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получим:
\(2\sin^2x+\sqrt2\sin x=\sqrt2+2\sin x.\)
\(2\sin^2x+(\sqrt2-2)\sin x-\sqrt2=0.\)
Разложим на множители:
\((\sin x-1)(2\sin x+\sqrt2)=0.\)
Отсюда \(\sin x=1\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\) получаем:
\(-\frac{11\pi}{4};\ -\frac{9\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(-\frac{11\pi}{4};\ -\frac{9\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |