Задание №13. Уравнения
а) Решите уравнение
\(1-\cos2x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}-2\sin(x-\pi).\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Запишем исходное уравнение в виде:
\(1-(1-2\sin^2x)+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}-2(-\sin x).\)
Получим:
\(2\sin^2x-(2-\sqrt{3})\sin x-\sqrt{3}=0.\)
Разложим левую часть на множители:
\((\sin x-1)(2\sin x+\sqrt{3})=0.\)
Значит, \(\sin x=1\), откуда
\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
Или \(\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда
\(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\).
Получим числа:
\(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |