Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\cos^2x+\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([5\pi;6\pi]\).
Решение
а) Используем формулы:
\(\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\),
\(\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)}{2}=\frac{1-\sin2x}{2}.\)
Тогда:
\(\frac{1+\cos2x}{2}+\frac{1-\sin2x}{2}=\frac12.\)
\(1+\frac{\cos2x-\sin2x}{2}=\frac12.\)
\(\cos2x-\sin2x=-1.\)
Так как \(\cos2x-\sin2x=\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\), получим:
\(\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1.\)
\(\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.\)
Отсюда:
\(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\) или \(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \([5\pi;6\pi]\).
Получим:
\(\frac{21\pi}{4};\ \frac{11\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{21\pi}{4};\ \frac{11\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |