Тригонометрические уравнения: разложение на множители · Открытый банк заданий ФИПИ · № C4507A
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin^3x=\sqrt2\cos^2x+2\sin x.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Перенесём все слагаемые в левую часть:
\(2\sin^3x-2\sin x-\sqrt2\cos^2x=0.\)
Так как \(\cos^2x=1-\sin^2x\), получим:
\(2\sin^3x+\sqrt2\sin^2x-2\sin x-\sqrt2=0.\)
Разложим на множители:
\((\sin x-1)(\sin x+1)(2\sin x+\sqrt2)=0.\)
Отсюда \(\sin x=1\), или \(\sin x=-1\), или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).
б) На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:
\(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{11\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{2}.\)
Ответ: а) \(\sin x=1\), \(\sin x=-1\), \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\). б) \(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{11\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) sin x=1; sin x=-1; sin x=-√2/2. б) -7π/2; -11π/4; -5π/2.