Тригонометрические уравнения: сведение к квадратному · Открытый банк заданий ФИПИ · № E4EA28
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\sqrt3\operatorname{tg}^2x-4\operatorname{tg}x+\sqrt3=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Пусть \(t=\operatorname{tg}x\). Тогда:
\(\sqrt3t^2-4t+\sqrt3=0.\)
\(D=16-12=4\), поэтому
\(t=\sqrt3\) или \(t=\frac{\sqrt3}{3}\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:
\(\frac{7\pi}{6};\ \frac{4\pi}{3};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{7\pi}{3}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{7\pi}{6};\ \frac{4\pi}{3};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{7\pi}{3}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) x=π/3+πk; x=π/6+πn. б) 7π/6; 4π/3; 13π/6; 7π/3.