Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin^2x+\cos(-x)-1=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{9\pi}{2};-3\pi\right]\).
Решение
а) Так как \(\cos(-x)=\cos x\), получим:
\(2\sin^2x+cos x-1=0.\)
Используем \(\sin^2x=1-cos^2x\):
\(2(1-cos^2x)+cos x-1=0.\)
\(2\cos^2x-cos x-1=0.\)
\((2\cos x+1)(\cos x-1)=0.\)
Отсюда \(\cos x=1\) или \(\cos x=-\frac12\).
Значит,
\(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[-\frac{9\pi}{2};-3\pi\right]\) получаем:
\(-4\pi;\ -\frac{10\pi}{3}.\)
Ответ:
а) \(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(-4\pi;\ -\frac{10\pi}{3}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |