Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\sin2x+\sqrt2\sin(x+\pi)=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получим:
\(\sin2x-\sqrt2\sin x=0.\)
Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):
\(2\sin x\cos x-\sqrt2\sin x=0.\)
\(\sin x(2\cos x-\sqrt2)=0.\)
Отсюда:
\(\sin x=0\) или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).
Значит,
\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или
\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\).
Получим:
\(-4\pi;\ -\frac{15\pi}{4};\ -3\pi.\)
Ответ:
а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(-4\pi;\ -\frac{15\pi}{4};\ -3\pi.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |