Задание №13. Уравнения
а) Решите уравнение
\(2\sin^2 x+\sqrt{2}\sin(2\pi+x)-\sqrt{3}\sin2x=\sqrt{6}\cos x.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).
Решение
а) Запишем исходное уравнение в виде:
\(2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0.\)
Сгруппируем:
\((2\sin x+\sqrt{2})(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0.\)
Значит, \(\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда
\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или
\(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)
Также \(\sin x-\sqrt{3}\cos x=0\), откуда \(\tan x=\sqrt{3}\), значит
\(x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).
Получим числа:
\(\frac{7\pi}{4};\ \frac{7\pi}{3}.\)
Ответ:
а) \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{7\pi}{4};\ \frac{7\pi}{3}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |