Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(27\cdot81^{\sin x}-12\cdot9^{\sin x}+1=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).
Решение
а) Пусть \(t=9^{\sin x}\). Тогда \(81^{\sin x}=9^{2\sin x}=t^2\).
Получим квадратное уравнение:
\(27t^2-12t+1=0.\)
Найдём корни:
\(D=(-12)^2-4\cdot27\cdot1=144-108=36.\)
\(t=\frac{12\pm6}{54}.\)
Отсюда:
\(t=\frac13\) или \(t=\frac19\).
Вернёмся к замене:
\(9^{\sin x}=\frac13\) или \(9^{\sin x}=\frac19\).
Так как \(9=3^2\), получим:
\(3^{2\sin x}=3^{-1}\) или \(3^{2\sin x}=3^{-2}\).
Значит,
\(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=-1\).
Отсюда:
\(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или
\(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)
или
\(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).
Получим:
\(\frac{3\pi}{2};\ \frac{11\pi}{6}.\)
Ответ:
а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{3\pi}{2};\ \frac{11\pi}{6}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |