Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\sin x\cdot\cos2x+\sqrt2\cos^2x+\sin x=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).
Решение
а) Сгруппируем слагаемые:
\(\sin x\cos2x+\sin x+\sqrt2\cos^2x=0.\)
\(\sin x(\cos2x+1)+\sqrt2\cos^2x=0.\)
Так как \(\cos2x+1=2\cos^2x\), получим:
\(2\sin x\cos^2x+\sqrt2\cos^2x=0.\)
\(\cos^2x(2\sin x+\sqrt2)=0.\)
Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или
\(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:
\(\frac{3\pi}{2};\ \frac{7\pi}{4};\ \frac{5\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{3\pi}{2};\ \frac{7\pi}{4};\ \frac{5\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |