Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin x+2\sqrt3\sin(-x)-4\cos^2x=\sqrt3-4.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), а \(\cos^2x=1-sin^2x\), получим:
\(2\sin x-2\sqrt3\sin x-4(1-sin^2x)=\sqrt3-4.\)
\(4\sin^2x+(2-2\sqrt3)\sin x-\sqrt3=0.\)
Разложим на множители:
\((2\sin x+1)(2\sin x-\sqrt3)=0.\)
Отсюда \(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\).
Значит,
\(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)
или \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:
\(\frac{7\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{19\pi}{6}.\)
Ответ:
а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m;\quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi n;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\quad k,m,n,l\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{7\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{19\pi}{6}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |