Тригонометрические уравнения: разложение на множители · Открытый банк заданий ФИПИ · № 2247B7
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos2x=\sqrt3\cos x+1.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Используем формулу синуса суммы:
\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x.\)
Тогда:
\(\sin x+\sqrt3\cos x+cos2x=\sqrt3\cos x+1.\)
\(\sin x+cos2x=1.\)
Так как \(\cos2x=1-2\sin^2x\), получим:
\(\sin x(1-2\sin x)=0.\)
Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac12\).
б) На отрезке \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\) получаем:
\(-3\pi;\ -2\pi;\ -\frac{11\pi}{6}.\)
Ответ: а) \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac12\). б) \(-3\pi;\ -2\pi;\ -\frac{11\pi}{6}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) sin x=0; sin x=1/2. б) -3π; -2π; -11π/6.