Задание №13. Уравнения

а) Так как \(\cos(\pi-2x)=-\cos2x\), получим:

\(2-2\cos2x+2\sqrt2\sin x=\sqrt6+2\sqrt3\sin x.\)

Так как \(2-2\cos2x=4\sin^2x\), имеем:

\(4\sin^2x+2(\sqrt2-\sqrt3)\sin x-\sqrt6=0.\)

Разложим на множители:

\((2\sin x-\sqrt3)(2\sin x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{13\pi}{4};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{13\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi m;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\quad k,m,n,l\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{13\pi}{4};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{13\pi}{3}.\)