Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\sin x+2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin2x+1.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\).
Решение
а) Используем формулу синуса суммы:
\(2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin2x+\cos2x.\)
Тогда:
\(\sin x+\sqrt3\sin2x+\cos2x=\sqrt3\sin2x+1.\)
Сократим \(\sqrt3\sin2x\):
\(\sin x+cos2x=1.\)
Так как \(\cos2x=1-2\sin^2x\), получим:
\(\sin x+1-2\sin^2x=1.\)
\(\sin x(1-2\sin x)=0.\)
Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac12\).
Значит,
\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:
\(-\frac{19\pi}{6};\ -3\pi;\ -2\pi.\)
Ответ:
а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(-\frac{19\pi}{6};\ -3\pi;\ -2\pi.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |