Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\log_9\left(3^{2x}+5\sqrt2\sin x-6\cos^2x-2\right)=x.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).
Решение
а) По определению логарифма:
\(3^{2x}+5\sqrt2\sin x-6\cos^2x-2=9^x=3^{2x}.\)
Сократим \(3^{2x}\):
\(5\sqrt2\sin x-6\cos^2x-2=0.\)
Используем \(\cos^2x=1-\sin^2x\):
\(6\sin^2x+5\sqrt2\sin x-8=0.\)
Отсюда \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\), второй корень не подходит, так как не принадлежит \([-1;1]\).
Значит, \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).
б) На отрезке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:
\(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4}.\)
Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k;\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\). б) \(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |