Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\frac{9^{\sin2x}-3^{2\sqrt2\sin x}}{\sqrt{11\sin x}}=0.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\).
Решение
а) Так как знаменатель не равен нулю, имеем \(\sin x>0\).
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
\(9^{\sin2x}=3^{2\sqrt2\sin x}.\)
Так как \(9=3^2\), получаем:
\(3^{2\sin2x}=3^{2\sqrt2\sin x}.\)
Следовательно, \(\sin2x=\sqrt2\sin x\).
\(2\sin x\cos x=\sqrt2\sin x.\)
Так как \(\sin x>0\), то \(\sin x\ne0\), поэтому
\(2\cos x=\sqrt2\), откуда \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).
С учётом условия \(\sin x>0\):
\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\) получаем:
\(\frac{17\pi}{4}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{17\pi}{4}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |