Тригонометрические уравнения: сведение к квадратному · Открытый банк заданий ФИПИ · № 8EB2DA
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+\cos(\pi-x)=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Так как \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x\), а \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), получим:
\(2\cos^2x-cos x=0.\)
\(\cos x(2\cos x-1)=0.\)
Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:
\(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)
б) \(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) x=π/2+πn; x=±π/3+2πk. б) -5π/3; -3π/2; -π/2.