Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\sin2x+\sqrt2\cos(x+\pi)=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\cos(x+\pi)=-\cos x\), получаем:
\(\sin2x-\sqrt2\cos x=0.\)
\(2\sin x\cos x-\sqrt2\cos x=0.\)
\(\cos x(2\sin x-\sqrt2)=0.\)
Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\),
или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m\), где \(k,m\in\mathbb Z\).
б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:
\(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m.\)
б) \(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |