Тригонометрические уравнения: сведение к квадратному · Открытый банк заданий ФИПИ · № 0448F1
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\cos2x+\cos(-x)=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Так как \(\cos(-x)=\cos x\), получаем:
\(\cos2x+cos x=0.\)
\(2\cos^2x-1+cos x=0.\)
\(2\cos^2x+cos x-1=0.\)
\((2\cos x-1)(\cos x+1)=0.\)
Отсюда \(\cos x=\frac12\) или \(\cos x=-1\).
Значит,
\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\pi+2\pi n\), где \(k,n\in\mathbb Z\).
б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:
\(-3\pi;\ -\frac{7\pi}{3}.\)
Ответ:
а) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\pi+2\pi n.\)
б) \(-3\pi;\ -\frac{7\pi}{3}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) x=±π/3+2πk; x=π+2πn. б) -3π; -7π/3.