Задание №13. Уравнения

а) Используем формулу синуса суммы:

\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin x+cos x.\)

Тогда:

\(\sqrt3\sin x+cos x-2\sqrt3\cos^2x=\cos x-2\sqrt3.\)

Сократим \(\cos x\) и разделим на \(\sqrt3\):

\(\sin x-2\cos^2x+2=0.\)

Так как \(\cos^2x=1-sin^2x\), получим:

\(\sin x-2(1-sin^2x)+2=0.\)

\(2\sin^2x+sin x=0.\)

\(\sin x(2\sin x+1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac12\).

б) На отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\) получаем:

\(-\frac{13\pi}{6};\ -2\pi;\ -\pi.\)

Ответ:

а) \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac12.\)

б) \(-\frac{13\pi}{6};\ -2\pi;\ -\pi.\)

а) Так как \(\cos(x+\pi)=-\cos x\), получаем:

\(\sin2x-\sqrt2\cos x=0.\)

\(2\sin x\cos x-\sqrt2\cos x=0.\)

\(\cos x(2\sin x-\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\),

или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m\), где \(k,m\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m.\)

б) \(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{17\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)

а) Перенесём всё в левую часть:

\(2\cos x-2\cos^3x-\sqrt3\sin^2x=0.\)

Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), получим:

\(-2\cos^3x+\sqrt3\cos^2x+2\cos x-\sqrt3=0.\)

Разложим на множители:

\(-(\cos x-1)(\cos x+1)(2\cos x-\sqrt3)=0.\)

Отсюда \(\cos x=1\), или \(\cos x=-1\), или \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\).

б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:

\(-3\pi;\ -\frac{13\pi}{6};\ -2\pi.\)

Ответ: а) \(\cos x=1\), \(\cos x=-1\), \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\). б) \(-3\pi;\ -\frac{13\pi}{6};\ -2\pi.\)

а) Используем формулу синуса суммы:

\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x.\)

Тогда:

\(\sin x+\sqrt3\cos x+cos2x=\sqrt3\cos x+1.\)

\(\sin x+cos2x=1.\)

Так как \(\cos2x=1-2\sin^2x\), получим:

\(\sin x(1-2\sin x)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac12\).

б) На отрезке \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-3\pi;\ -2\pi;\ -\frac{11\pi}{6}.\)

Ответ: а) \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac12\). б) \(-3\pi;\ -2\pi;\ -\frac{11\pi}{6}.\)

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(2\sin^3x-2\sin x-\sqrt2\cos^2x=0.\)

Так как \(\cos^2x=1-\sin^2x\), получим:

\(2\sin^3x+\sqrt2\sin^2x-2\sin x-\sqrt2=0.\)

Разложим на множители:

\((\sin x-1)(\sin x+1)(2\sin x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\sin x=1\), или \(\sin x=-1\), или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

б) На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{11\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(\sin x=1\), \(\sin x=-1\), \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\). б) \(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{11\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\), получим:

\(2\cos^2x+\sin2x=0.\)

\(2\cos^2x+2\sin x\cos x=0.\)

\(2\cos x(\cos x+\sin x)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=-\cos x\), то есть \(\operatorname{tg}x=-1\).

Значит, \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), или \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\). б) \(\frac{7\pi}{2};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{9\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), а \(\cos(-x)=\cos x\), получим:

\(\sin2x-2\sin x+cos x-1=0.\)

Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):

\(2\sin x\cos x-2\sin x+cos x-1=0.\)

Сгруппируем:

\(2\sin x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0.\)

\((\cos x-1)(2\sin x+1)=0.\)

Отсюда \(\cos x=1\) или \(\sin x=-\frac12\).

Значит,

\(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(2\pi;\ \frac{19\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(2\pi;\ \frac{19\pi}{6}.\)

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(2\cos^3x-2\cos x+\sqrt2\sin^2x=0.\)

Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), получим:

\(2\cos x(\cos^2x-1)-\sqrt2(\cos^2x-1)=0.\)

\((\cos^2x-1)(2\cos x-\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\cos x=1\), или \(\cos x=-1\), или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\) получаем:

\(3\pi;\ \frac{15\pi}{4};\ 4\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(3\pi;\ \frac{15\pi}{4};\ 4\pi.\)

а) Сгруппируем:

\(2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0.\)

\(\cos^2x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)=0.\)

\((2\cos x-1)(\cos^2x+1)=0.\)

Так как \(\cos^2x+1>0\), получаем:

\(2\cos x-1=0.\)

\(\cos x=\frac12.\)

Значит,

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{3}.\)

а) Используем формулу синуса суммы:

\(2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin2x+\cos2x.\)

Тогда:

\(\sin x+\sqrt3\sin2x+\cos2x=\sqrt3\sin2x+1.\)

Сократим \(\sqrt3\sin2x\):

\(\sin x+cos2x=1.\)

Так как \(\cos2x=1-2\sin^2x\), получим:

\(\sin x+1-2\sin^2x=1.\)

\(\sin x(1-2\sin x)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac12\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:

\(-\frac{19\pi}{6};\ -3\pi;\ -2\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{19\pi}{6};\ -3\pi;\ -2\pi.\)

а) Так как \(\sin(2\pi-x)=-\sin x\), получим:

\(2\sin^2x-\sqrt2\sin x+\sqrt3\sin2x-\sqrt6\cos x=0.\)

Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):

\(2\sin^2x-\sqrt2\sin x+2\sqrt3\sin x\cos x-\sqrt6\cos x=0.\)

Сгруппируем:

\(2\sin x(\sin x+\sqrt3\cos x)-\sqrt2(\sin x+\sqrt3\cos x)=0.\)

\((2\sin x-\sqrt2)(\sin x+\sqrt3\cos x)=0.\)

Отсюда \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\) или \(\operatorname{tg}x=-\sqrt3\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На промежутке \(\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{4}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m;\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad k,m,n\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{4}.\)

а) Сгруппируем слагаемые:

\(\sin x\cos2x+\sin x+\sqrt2\cos^2x=0.\)

\(\sin x(\cos2x+1)+\sqrt2\cos^2x=0.\)

Так как \(\cos2x+1=2\cos^2x\), получим:

\(2\sin x\cos^2x+\sqrt2\cos^2x=0.\)

\(\cos^2x(2\sin x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:

\(\frac{3\pi}{2};\ \frac{7\pi}{4};\ \frac{5\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{3\pi}{2};\ \frac{7\pi}{4};\ \frac{5\pi}{2}.\)

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(2\sin x\cos^2x+\sqrt3-\sqrt3\sin^2x=0.\)

Так как \(\cos^2x=1-\sin^2x\), получим:

\(2\sin x(1-\sin^2x)+\sqrt3(1-\sin^2x)=0.\)

\((1-\sin^2x)(2\sin x+\sqrt3)=0.\)

Отсюда \(\sin x=1\), или \(\sin x=-1\), или \(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3};\ \frac{9\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\quad n,k,m,l\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3};\ \frac{9\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos x\), получим:

\(2\sqrt3\cos^2x+\sin2x=0.\)

\(2\sqrt3\cos^2x+2\sin x\cos x=0.\)

\(2\cos x(\sqrt3\cos x+\sin x)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin x=-\sqrt3\cos x\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(\operatorname{tg}x=-\sqrt3\), то есть \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{10\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{10\pi}{3};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), а \(\cos(-x)=\cos x\), получим:

\(\sin2x+\sin x+2\cos x+1=0.\)

\(2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=0.\)

Сгруппируем:

\(\sin x(2\cos x+1)+(2\cos x+1)=0.\)

\((\sin x+1)(2\cos x+1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=-1\) или \(\cos x=-\frac12\).

Значит,

\(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:

\(\frac{3\pi}{2};\ \frac{8\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi m,\quad n,k,m\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{3\pi}{2};\ \frac{8\pi}{3}.\)

а) Сгруппируем:

\(2\cos x(\cos^2x+1)+\sqrt3(\cos^2x+1)=0.\)

\((\cos^2x+1)(2\cos x+\sqrt3)=0.\)

Так как \(\cos^2x+1>0\), получаем:

\(2\cos x+\sqrt3=0.\)

\(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.\)

Значит,

\(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{7\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{7\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{6}.\)

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

\(\cos x\cos2x-\cos x-\sqrt2\sin^2x=0.\)

\(\cos x(\cos2x-1)-\sqrt2\sin^2x=0.\)

Так как \(\cos2x-1=-2\sin^2x\), получим:

\(-2\cos x\sin^2x-\sqrt2\sin^2x=0.\)

\(\sin^2x(2\cos x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\) получаем:

\(-2\pi;\ -\frac{5\pi}{4};\ -\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k;\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi m,\quad k,m\in\mathbb Z.\)

б) \(-2\pi;\ -\frac{5\pi}{4};\ -\pi.\)

а) Используем формулу синуса суммы:

\(\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x+cos x.\)

Тогда:

\(2\sin^2x+sin x+cos x=cos x.\)

\(2\sin^2x+sin x=0.\)

\(\sin x(2\sin x+1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac12\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-2\pi;\ -\pi;\ -\frac{5\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-2\pi;\ -\pi;\ -\frac{5\pi}{6}.\)

а) Используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\). Получим:

\(2(1-\cos^2x)\cos x+\sqrt2\cos^2x=\sqrt2.\)

Пусть \(t=\cos x\). Тогда:

\(2t-2t^3+\sqrt2t^2-\sqrt2=0.\)

Разложим на множители:

\(-(t-1)(t+1)(2t-\sqrt2)=0.\)

Значит, \(\cos x=1\), или \(\cos x=-1\), или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Отсюда:

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:

\(-3\pi;\ -\frac{9\pi}{4};\ -2\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-3\pi;\ -\frac{9\pi}{4};\ -2\pi.\)

а) Так как \(\cos2x=1-2\sin^2x\), а \(\sin(x-\pi)=-\sin x\), получим:

\(1-(1-2\sin^2x)+\sqrt3\sin x=\sqrt3+2\sin x.\)

\(2\sin^2x+\sqrt3\sin x=\sqrt3+2\sin x.\)

\(2\sin^2x+(\sqrt3-2)\sin x-\sqrt3=0.\)

Разложим на множители:

\((\sin x-1)(2\sin x+\sqrt3)=0.\)

Отсюда:

\(\sin x=1\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\).

Получим:

\(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получим:

\(\sin2x-\sqrt2\sin x=0.\)

Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):

\(2\sin x\cos x-\sqrt2\sin x=0.\)

\(\sin x(2\cos x-\sqrt2)=0.\)

Отсюда:

\(\sin x=0\) или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\).

Получим:

\(-4\pi;\ -\frac{15\pi}{4};\ -3\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-4\pi;\ -\frac{15\pi}{4};\ -3\pi.\)

а) Используем формулу синуса суммы:

\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=\sin x+\sqrt3\cos x.\)

Тогда исходное уравнение принимает вид:

\(\sin x+\sqrt3\cos x-\sqrt3\cos2x=\sin x+\sqrt3.\)

Сократим \(\sin x\) и разделим на \(\sqrt3\):

\(\cos x-\cos2x=1.\)

Так как \(\cos2x=2\cos^2x-1\), получим:

\(\cos x-(2\cos^2x-1)=1.\)

\(\cos x-2\cos^2x=0.\)

\(\cos x(1-2\cos x)=0.\)

Отсюда:

\(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).

Получим:

\(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)

а) Запишем уравнение в виде:

\(\sqrt{2}\sin x(\sin^2x-1)+\cos^2x=0.\)

Так как \(\sin^2x-1=-\cos^2x\), получим:

\(\cos^2x(1-\sqrt{2}\sin x)=0.\)

Значит, или \(\cos x=0\), откуда

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда

\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\).

Получим числа:

\(-\frac{5\pi}{2};\ -\frac{7\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{4}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{5\pi}{2};\ -\frac{7\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{4}.\)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

\(2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0.\)

Сгруппируем:

\((2\sin x+\sqrt{2})(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0.\)

Значит, \(\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда

\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

Также \(\sin x-\sqrt{3}\cos x=0\), откуда \(\tan x=\sqrt{3}\), значит

\(x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).

Получим числа:

\(\frac{7\pi}{4};\ \frac{7\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{4};\ \frac{7\pi}{3}.\)