Задание №13. Уравнения

а) Так как \(\cos(-x)=\cos x\), получаем:

\(\cos2x+cos x=0.\)

\(2\cos^2x-1+cos x=0.\)

\(2\cos^2x+cos x-1=0.\)

\((2\cos x-1)(\cos x+1)=0.\)

Отсюда \(\cos x=\frac12\) или \(\cos x=-1\).

Значит,

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\pi+2\pi n\), где \(k,n\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:

\(-3\pi;\ -\frac{7\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\pi+2\pi n.\)

б) \(-3\pi;\ -\frac{7\pi}{3}.\)

а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), получим:

\(\cos2x+3\sin x-2=0.\)

Используем \(\cos2x=1-2\sin^2x\):

\(1-2\sin^2x+3\sin x-2=0.\)

\(2\sin^2x-3\sin x+1=0.\)

\((2\sin x-1)(\sin x-1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=1\).

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{25\pi}{6};\ \frac{9\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=1\). б) \(\frac{25\pi}{6};\ \frac{9\pi}{2}.\)

а) Так как \(\cos(-x)=\cos x\), получим:

\(2\cos x-2\sqrt3\cos x-4\sin^2x-\sqrt3+4=0.\)

Используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\):

\(4\cos^2x+(2-2\sqrt3)\cos x-\sqrt3=0.\)

Разложим на множители:

\((2\cos x+1)(2\cos x-\sqrt3)=0.\)

Отсюда \(\cos x=-\frac12\) или \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\).

Значит, \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\), или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n\), или \(x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{13\pi}{6};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{10\pi}{3}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\ x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\ x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k\). б) \(\frac{13\pi}{6};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{10\pi}{3}.\)

а) Так как \(\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x\), получим:

\(\sin x+\cos x+2\sin^2x=\sin x+2.\)

\(\cos x+2\sin^2x-2=0.\)

Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), получим:

\(\cos x-2\cos^2x=0.\)

\(\cos x(1-2\cos x)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).

Значит, \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), или \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{3};\ \frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\). б) \(\frac{7\pi}{3};\ \frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x\), получим:

\(\cos2x+\sqrt3\cos x+1=0.\)

Используем \(\cos2x+1=2\cos^2x\):

\(2\cos^2x+\sqrt3\cos x=0.\)

\(\cos x(2\cos x+\sqrt3)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Значит, \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{17\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{2};\ -\frac{3\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\). б) \(-\frac{17\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{2};\ -\frac{3\pi}{2}.\)

а) Так как \(\cos(\pi-2x)=-\cos2x\), получим:

\(2-2\cos2x+2\sqrt2\sin x=\sqrt6+2\sqrt3\sin x.\)

Так как \(2-2\cos2x=4\sin^2x\), имеем:

\(4\sin^2x+2(\sqrt2-\sqrt3)\sin x-\sqrt6=0.\)

Разложим на множители:

\((2\sin x-\sqrt3)(2\sin x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{13\pi}{4};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{13\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi m;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi l,\quad k,m,n,l\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{13\pi}{4};\ \frac{15\pi}{4};\ \frac{13\pi}{3}.\)

а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получим:

\(\cos2x+\sqrt2\sin x-1=0.\)

Так как \(\cos2x-1=-2\sin^2x\), имеем:

\(-2\sin^2x+\sqrt2\sin x=0.\)

\(\sin x(\sqrt2-2\sin x)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) получаем:

\(-\frac{13\pi}{4};\ -3\pi;\ -2\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{13\pi}{4};\ -3\pi;\ -2\pi.\)

а) Используем формулу синуса суммы:

\(2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin2x+\cos2x.\)

Тогда исходное уравнение принимает вид:

\(\sqrt3\sin2x+\cos2x-\cos x=\sqrt3\sin2x-1.\)

Сократим \(\sqrt3\sin2x\):

\(\cos2x-\cos x=-1.\)

\(\cos2x-\cos x+1=0.\)

Так как \(\cos2x=2\cos^2x-1\), получим:

\(2\cos^2x-\cos x=0.\)

\(\cos x(2\cos x-1)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\) получаем:

\(\frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{5\pi}{2};\ \frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3}.\)

а) Так как \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x\), получим:

\(\cos2x-\sqrt2\sin x-1=0.\)

Так как \(\cos2x-1=-2\sin^2x\), получим:

\(-2\sin^2x-\sqrt2\sin x=0.\)

\(\sin x(2\sin x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{4};\ 2\pi;\ 3\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\quad k,m\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{4};\ 2\pi;\ 3\pi.\)

а) Так как \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x\), а \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), получим:

\(2\cos^2x-cos x=0.\)

\(\cos x(2\cos x-1)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac12\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{5\pi}{3};\ -\frac{3\pi}{2};\ -\frac{\pi}{2}.\)

а) Так как \(\cos(x+\pi)=-\cos x\), получим:

\(\cos2x-\sqrt2\cos x+1=0.\)

Используем \(\cos2x+1=2\cos^2x\):

\(2\cos^2x-\sqrt2\cos x=0.\)

\(\cos x(2\cos x-\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{15\pi}{4};\ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{15\pi}{4};\ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2}.\)

а) Пусть \(t=\operatorname{tg}x\). Тогда:

\(\sqrt3t^2-4t+\sqrt3=0.\)

\(D=16-12=4\), поэтому

\(t=\sqrt3\) или \(t=\frac{\sqrt3}{3}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{6};\ \frac{4\pi}{3};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{7\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{6};\ \frac{4\pi}{3};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{7\pi}{3}.\)

а) Так как \(1-\cos2x=2\sin^2x\), а \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получим:

\(2\sin^2x+\sqrt2\sin x=\sqrt2+2\sin x.\)

\(2\sin^2x+(\sqrt2-2)\sin x-\sqrt2=0.\)

Разложим на множители:

\((\sin x-1)(2\sin x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\sin x=1\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{11\pi}{4};\ -\frac{9\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{11\pi}{4};\ -\frac{9\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2}.\)

а) Так как \(\cos(\pi-2x)=-\cos2x\), получим:

\(2+2\cos2x+2\sqrt2\cos x=\sqrt6+2\sqrt3\cos x.\)

Используем \(\cos2x=2\cos^2x-1\):

\(4\cos^2x+2(\sqrt2-\sqrt3)\cos x-\sqrt6=0.\)

Разложим на множители:

\((2\cos x-\sqrt3)(2\cos x+\sqrt2)=0.\)

Отсюда \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\) или \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{13\pi}{4};\ \frac{23\pi}{6};\ \frac{25\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi m;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi l,\quad k,m,n,l\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{13\pi}{4};\ \frac{23\pi}{6};\ \frac{25\pi}{6}.\)

а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), а \(\cos^2x=1-sin^2x\), получим:

\(2\sin x-2\sqrt3\sin x-4(1-sin^2x)=\sqrt3-4.\)

\(4\sin^2x+(2-2\sqrt3)\sin x-\sqrt3=0.\)

Разложим на множители:

\((2\sin x+1)(2\sin x-\sqrt3)=0.\)

Отсюда \(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\).

Значит,

\(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{7\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{19\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m;\quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi n;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\quad k,m,n,l\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{7\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{19\pi}{6}.\)

а) Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), получим:

\(2\cos^2x-3\sin x-3=0.\)

Используем \(\cos^2x=1-sin^2x\):

\(2(1-sin^2x)-3\sin x-3=0.\)

\(2\sin^2x+3\sin x+1=0.\)

\((2\sin x+1)(\sin x+1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=-1\).

Значит,

\(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}.\)

а) Так как \(\cos(-x)=\cos x\), получим:

\(2\sin^2x+cos x-1=0.\)

Используем \(\sin^2x=1-cos^2x\):

\(2(1-cos^2x)+cos x-1=0.\)

\(2\cos^2x-cos x-1=0.\)

\((2\cos x+1)(\cos x-1)=0.\)

Отсюда \(\cos x=1\) или \(\cos x=-\frac12\).

Значит,

\(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{9\pi}{2};-3\pi\right]\) получаем:

\(-4\pi;\ -\frac{10\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-4\pi;\ -\frac{10\pi}{3}.\)

а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получим:

\(2\cos^2x-3\sin x-3=0.\)

Используем \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

\(2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0.\)

\(2\sin^2x+3\sin x+1=0.\)

\((2\sin x+1)(\sin x+1)=0.\)

Отсюда \(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=-1\).

Значит,

\(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}.\)

а) Запишем уравнение в виде:

\(\cos^2x-\sin^2x+0{,}5=\cos^2x.\)

Тогда

\(\sin^2x=\frac12.\)

Значит, \(\sin x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда

\(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).

Получим числа:

\(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{4}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{4}.\)

а) Запишем исходное уравнение в виде:

\(1-(1-2\sin^2x)+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}-2(-\sin x).\)

Получим:

\(2\sin^2x-(2-\sqrt{3})\sin x-\sqrt{3}=0.\)

Разложим левую часть на множители:

\((\sin x-1)(2\sin x+\sqrt{3})=0.\)

Значит, \(\sin x=1\), откуда

\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

Или \(\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда

\(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\).

Получим числа:

\(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)