Задание №13. Уравнения

а) По определению логарифма:

\(3^{2x}+5\sqrt2\sin x-6\cos^2x-2=9^x=3^{2x}.\)

Сократим \(3^{2x}\):

\(5\sqrt2\sin x-6\cos^2x-2=0.\)

Используем \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

\(6\sin^2x+5\sqrt2\sin x-8=0.\)

Отсюда \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\), второй корень не подходит, так как не принадлежит \([-1;1]\).

Значит, \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k;\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\). б) \(-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4}.\)

а) Используем формулы:

\(\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\),

\(\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)}{2}=\frac{1-\sin2x}{2}.\)

Тогда:

\(\frac{1+\cos2x}{2}+\frac{1-\sin2x}{2}=\frac12.\)

\(1+\frac{\cos2x-\sin2x}{2}=\frac12.\)

\(\cos2x-\sin2x=-1.\)

Так как \(\cos2x-\sin2x=\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\), получим:

\(\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1.\)

\(\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.\)

Отсюда:

\(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\) или \(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \([5\pi;6\pi]\).

Получим:

\(\frac{21\pi}{4};\ \frac{11\pi}{2}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{21\pi}{4};\ \frac{11\pi}{2}.\)